Multiplicative Analysis

Et primtall er et positivt heltall som bare er delelig med 1 og seg selv: de første fem primtallene er 2, 3, 5, 7 og 11. Primtall er byggesteinene vi trenger for å lage de andre heltallene ved hjelp av multiplikasjon. Akkurat som et vannmolekyl består av to hydrogen-atomer og et oksygen-atom, består tallet 12 av to 2-tall og et 3-tall, siden 12 = 2 x 2 x 3. Euklid viste allerede i antikken at det finnes uendelig mange primtall, men vi har i dag bare en primitiv forståelse av primtallenes distribusjon blant heltallene. Dette spørsmålet omhandler samspillet mellom de additive og multiplikative egenskapene til heltallene. I dette prosjektet skal vi studere primtallene fra to forskjellige perspektiver. I det første perspektivet assosierer et signal med en gitt frekvens til hvert primtall, hvor frekvensen avhenger av størrelsen på primtallet. Til forskjell fra de klassiske periodiske funksjonene vi kjenner til fra fysiske systemer, får vi ved å kombinere primtallsfrekvensene funksjoner som er nesten periodiske. Det andre perspektivet går ut på å assosiere hvert primtall til en uavhengig variabel, som gir oss funksjoner av uendelig mange variable. De to perspektivene er på mange måter ekvivalente, og det er gjennom denne ekvivalensen vi håper å oppnå en bedre forståelse av primtallene og deres egenskaper.

Multiplicative analysis is an emergent field of analysis that lies in the intersection of complex analysis, operator theory, and analytic number theory. The main objective of the research project is to solve problems reinforcing the interplay between these different branches of analysis. Of particular interest are interactions between multiplicative analysis and the Riemann zeta function. The central objects in the field are the Hardy spaces of Dirichlet series, and our main objective is to study analogues of classical results and structures for these objects. In the Hilbertian setting, we aim at breaking out of the current crop of local results to improve our understanding of global Carleson measures and the global structure of zero sets. Our approach to these problems is based on the theory of almost periodic functions and certain properties of the Riemann zeta function. In the non-Hilbertian setting, our selection of problems revolves around the local embedding problem. The focus is on dual spaces, interpolating sequences, and embeddings (both contractive and non-contractive) between function spaces. We will use interdisciplinary techniques ranging from infinite-dimensional harmonic analysis, via function theory of one and several variables, to analytic number theory and multiplicative chaos. The 4-year project will support 6,33 man-years of research carried out by the project manager and one PhD student. A significant part of the project is the long-term hybrid "Multiplicative analysis seminar" that will attract researchers from analytic number theory and operator-related function theory to interdisciplinary research in multiplicative analysis.