NASTRAN: Numerical Analysis of Stochastic TRANsport

Prosjektet har som mål å utforske og utvikle matematiske og numeriske metoder for å analysere stokastiske transportligninger. Disse ligningene er essensielle for å forstå hvordan tilfeldige fluktuasjoner (støy) påvirker dynamiske systemer som turbulens, vannbølger, geofysiske strømmer, og kompressibel væskebevegelse. Transportligninger er en type partielle differensialligninger som brukes til å modellere bevegelse og spredning av størrelser som masse, energi eller kjemiske stoffer i et medium. Disse ligningene tar hensyn til hastighetsfeltet, som beskriver retning og hastighet av bevegelsen i mediet. Ved å inkludere stokastiske elementer i disse modellene, kan vi ta høyde for tilfeldige påvirkninger eller støy som oppstår i systemet. Dette er avgjørende fordi mange naturlige og industrielle prosesser er utsatt for uforutsigbare faktorer, som kan ha innvirkning på deres dynamikk. Prosjektet fokuserer på gradientstøy, hvor hastighetsfeltene påvirkes av støy. Dette muliggjør energibevarende løsninger, noe som er ønskelig i fluidmekanikk. Energibevaring refererer til prinsippet om at den totale energien i et lukket system forblir konstant over tid, selv om den kan endre form. Konvensjonelle tilnærminger legger til såkalt Itô støy i kildeledd, noe som kontinuerlig tilfører energi. Gradientstøy krever avanserte matematiske verktøy for å håndtere dens komplekse påvirkning på systemene. Vi bruker Stratonovich- og Marcus-type fluktuasjoner for å representere denne støyen i hastighetsfeltene til transportligningene. Prosjektet har som mål å utvikle nye matematiske og numeriske teorier for å håndtere de spesifikke utfordringene som gradientstøy medfører. Vi fokuserer på å forstå superkritiske transportligninger, ikke-lineære bølgeligninger, og kompressibel Navier-Stokes ligninger. Viktige spørsmål er: (1) Har disse stokastiske ligningene en løsning? (2) Er løsningen entydig? (3) Er løsningen stabil ved endringer i inngangsdataene? (4) Hvordan kan løsningen beregnes numerisk?

Our project is at the cutting edge of numerical analysis of SPDEs affected by transport noise. Such equations have emerged as a focal point in mathematical research, due to their critical applications in areas like fluid dynamics, turbulence modeling, and geophysical flows. This heightened interest is driven by the need for deeper understanding and precise analysis of these complex phenomena, where SPDEs offer vital insights and predictive capabilities. What sets our research apart is its emphasis on transport-dominated systems driven by gradient noise operators. Prior numerical analysis studies have explored SPDEs with stochastic forcing, but the examination of gradient noise is still in its infancy. The complexity of gradient noise, involving anisotropic (integro-) differential operators due to stochastic calculus, presents unique challenges. There is a pressing need to develop methods that preserve the hyperbolic structure of these equations. Our project aims to pioneer this field by devising theoretically sound numerical algorithms and creating novel frameworks for stability and convergence. Our work considers supercritical transport equations, nonlinear wave equations, and the compressible Navier-Stokes equations. Research on stochastic transport equations is inspired by the famous Kraichnan turbulence model, which posits advection through a Gaussian velocity field. Yet, there is a growing consensus that noise in turbulent velocities might be better represented by a Lévy process with jumps. As the second main advancement of our project, we are breaking new ground by pioneering the analysis of SPDEs affected by Marcus-type gradient noise. This area is critically important yet hardly explored, with vast potential for groundbreaking discoveries. Marcus noise is distinct for adhering to the Newton-Leibniz chain rule, which is important in fluid dynamics, unlike the Stratonovich interpretation which fails to do so in the presence of jumps.